No, l'equilibrio di Nash non è quello di 'A Beautiful Mind'

In 'A Beautiful Mind' una scena in un pub descrive l'equilibrio di Nash, uno dei risultati più famosi della teoria dei giochi, ma funziona davvero così?

No, l'equilibrio di Nash non è quello di 'A Beautiful Mind'
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Sono ormai passati sei anni dalla morte di John Forbes Nash Jr., importante matematico americano che si è ritagliato uno spazio nella cultura pop grazie all'interpretazione di Russell Crowe nel biopic "A Beautiful Mind", vincitore di numerosi premi, tra cui l'Oscar al miglior film. La sua storia ha saputo appassionare anche grazie alla interessante sceneggiatura basata proprio sulla vita del matematico, affetto da schizofrenia.
Tuttavia, quando il film verrà dimenticato, il nome di John Nash sopravvivrà alla storia grazie all'equilibrio di Nash e alla dimostrazione che il matematico fornì della sua esistenza, con cui conquistò un meritato premio Nobel per l'economia nel 1994. L'equilibrio di Nash viene brevemente descritto nel film, con alcune imprecisioni come spesso accade in prodotti rivolti al grande pubblico. Qual è allora il risultato matematico che ha garantito a Nash i meritati riconoscimenti e la fama ottenuta?

La matematica nella finzione

Possiamo confermare che molte discussioni matematiche avvengono nei pub e talvolta hanno dato il via a collaborazioni in grado di produrre risultati creativi e importanti pubblicazioni scientifiche, ma non sembra che John Nash abbia effettivamente partorito il suo famoso equilibrio in una situazione analoga a quella descritta dal film. In "A Beautiful Mind", mentre un giovane Nash e alcuni suoi amici sono intenti a bersi una birra, fa il suo ingresso nel pub un gruppo di ragazze, tra cui spicca una bellissima ragazza bionda.
I giovani iniziano a scherzare tra di loro su chi l'avrebbe conquistata, ma è qui che Nash ha la sua illuminazione: egli spiega infatti ai suoi amici che se tutti ci provassero con la ragazza più bella della comitiva, allora essa li rifiuterebbe come gruppo. Inoltre, non avrebbero poi un'alternativa visto che anche le altre ragazze li allontanerebbero, in quanto si sentirebbero considerate delle seconde scelte. D'altro canto, se nessuno dei ragazzi approcciasse la bionda ma ognuno di loro ci provasse con una differente ragazza, allora nessuno si ostacolerebbe o offenderebbe le altre ragazze, e questa è l'unica soluzione per il successo. Questo sarebbe un equilibrio di Nash, appunto.

Sylvia Nasar, la biografa ufficiale di Nash, scrive nel libro su cui è basato il film che in realtà il matematico ebbe l'idea per il suo rivoluzionario equilibrio quando era uno studente all'Università di Princeton, ove accostò un suo collega, David Gale, rivelandogli di aver trovato un modo di generalizzare un famoso teorema di Von Neumann. Ma come definire più formalmente, senza scadere in tecnicismi però, il risultato che ha valso a Nash il Nobel per l'economia? L'equilibrio di Nash va inquadrato nell'ambito di una branca della matematica chiamata teoria dei giochi, che si occupa di analizzare appunto le situazioni sociali e le strategie che intercorrono tra giocatori in competizione.

L'equilibrio di Nash

Un insieme di strategie è detto un equilibrio di Nash se nessun giocatore può ottenere alcun vantaggio cambiando unilateralmente la propria strategia. Per esempio, in un gioco che coinvolge Marco e Luca, le strategie dei ragazzi formano un equilibrio di Nash se la strategia di Marco è la migliore possibile data quella di Luca e viceversa. Volete avere un esempio concreto? Immaginate il classico dilemma del prigioniero. Due giovani, Giulio e Alessio, vengono arrestati e posti in isolamento, impossibilitati a comunicare tra di loro. I poliziotti non hanno prove concrete sui due, quindi danno ad entrambi gli imputati l'opportunità di rimanere in silenzio o di parlare, ed accusare il loro compagno. Le possibilità sono dunque quattro: entrambi stanno in silenzio e vengono dunque rilasciati, entrambi parlano accusandosi a vicenda e sono condannati a cinque anni di galera, oppure uno dei due accusa l'altro e l'altro sta in silenzio, così l'accusato prende dieci anni e il delatore viene rilasciato.

Il gioco appena descritto è l'esempio principe per introdurre l'equilibrio di Nash, ed è anche molto semplice definire l'insieme di strategie che lo costituiscono. Se infatti entrambi i (presunti) criminali si tradiscono a vicenda, allora abbiamo un equilibrio. Pensateci: se entrambi si accusano allora ognuno di loro farà 5 anni di carcere, ma, ad esempio, Giulio non guadagnerebbe alcun vantaggio nel cambiare unilateralmente strategia e restare in silenzio, perché allora prenderebbe dieci anni di carcere, e lo stesso si può dire per Alessio.
È interessante osservare inoltre che l'equilibrio di Nash spesso non costituisce la soluzione migliore per i giocatori, visto che nell'esempio precedente la migliore opzione sarebbe che nessuno dei due arrestati parlasse. John Nash, tuttavia, nella sua tesi di dottorato dimostrò che in un gioco con un numero finito di azioni esiste sempre un equilibrio di Nash, garantendosi il premio Nobel per l'economia nel 1994.

Ok, ma quindi approcciare ragazze in un pub ha effettivamente un equilibrio di Nash? Beh, la risposta è sì, ma non quello descritto nel film. Immaginiamo che per semplicità insieme a John Nash ci sia solo un amico chiamato Robert, e che la ragazza bionda entri con due amiche (meno attraenti e parimenti belle). Se John e Robert ignorassero la bionda, la più bella del gruppo, e provassero a rimorchiare le due sue amiche, allora questo non sarebbe un equilibrio di Nash. Infatti, sia John che Robert godrebbero di un vantaggio dal cambio di strategia che prevede l'approccio della ragazza bionda. Equilibri di Nash sarebbero in questo caso raggiunti dalle strategie secondo cui uno dei ragazzi approccia la bionda, e l'altro una delle sue amiche. Se ad esempio John scegliesse di provarci con la bionda, e Robert con un'amica, allora John non riscuoterebbe alcun vantaggio dall'approcciare una ragazza meno attraente, e allo stesso modo Robert non avrebbe vantaggi da un cambio di strategia; infatti, se provasse a rimorchiare la ragazza bionda, troverebbe la concorrenza di John e dunque i due si ostacolerebbero a vicenda. Ovviamente, nel film il problema diverrebbe decidere chi dei quattro amici sia il prescelto per provarci con la ragazza bionda; ciò potrebbe tuttavia essere stabilito con un'estrazione casuale.

Un interessante ultimo aspetto dell'equilibrio di Nash è che non sempre esso può essere raggiunto. Nash ha infatti provato che ogni gioco ha un equilibrio, ma è difficile che due persone che giocano ad un gioco per la prima volta scelgano strategie che effettivamente garantiscono l'equilibrio. Ci si potrebbe aspettare che se le persone potessero giocare ripetutamente allo stesso gioco, esse siano in grado, prima o poi, di imparare dai round precedenti e dunque di giungere ad un equilibrio.
Aviad Rubinstein, un dottorando in informatica, e Yakov Babichenko, matematico israeliano, hanno dimostrato tuttavia in un recente articolo che non esiste in generale un metodo garantito per cui i giocatori possono giungere ad una forma di equilibrio, a meno che non condividano tra di loro le preferenze che possiedono. Il problema è che la comunicazione di tali preferenze richiederebbe tempi giganteschi con un alto numero di giocatori, rendendo quindi virtualmente impossibile il raggiungimento di un equilibrio.

Babichenko e Rubinstein si sono occupati in maniera astratta dei giochi, ma molto spesso i giochi coinvolti in teorie economiche oppure in applicazioni al mondo reale hanno delle ipotesi aggiuntive che riducono il tempo necessario per le comunicazioni delle varie strategie, e quindi rendono più semplice il raggiungimento dell'equilibrio predetto da Nash ormai quasi 30 anni fa, che resta uno dei risultati più importanti della teoria dei giochi.