Il Teorema delle scimmie infinite

Se al mondo esistessero scimmie infinite che scrivono su delle macchine, queste potrebbero scrivere qualsiasi testo prodotto dall'umanità.

Il Teorema delle scimmie infinite
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Il teorema delle scimmie infinite, o della scimmia instancabile, sostiene che se al mondo esistessero un numero infinito di scimmie poste davanti ad infinite macchine da scrivere, questi mammiferi sarebbero capaci di creare una qualsiasi opera letteraria già scritta quali, ad esempio, i grandi capolavori della letteratura come la Divina Commedia, l'Iliade di Omero e molte delle grandi opere di William Shakespeare o, come nel nostro caso, questo stesso articolo.

Naturalmente, per la dimostrazione di questa teoria, gli scienziati non avrebbero mai potuto utilizzare una serie interminabile di scimmie assieme a delle innumerevoli macchine da scrivere. La soluzione è stata, a rigore di logica, di utilizzare un complesso programma informatico, per mezzo del quale sono riusciti a sperimentare una condizione di questo tipo. Utilizzando un particolare algoritmo, infatti, dei ricercatori hanno potuto simulare la serie casuale ed infinita di caratteri che ogni scimmia avrebbe potuto battere su ogni macchina da scrivere.

Teorema scimmie infinite: Primi tentativi

Il primo tentativo di questa simulazione risale al 2004, quando un team di esperti informatici riuscì a ricreare alcuni passi di letteratura in 42.162.500.000 anni di instancabile lavoro da parte delle nostre scimmie virtuali. Infatti, in tutto questo lasso di tempo, le scimmie furono in grado di scrivere 19 lettere dell'opera di Shakespeare "I due gentiluomini di Verona", ma anche 18 caratteri della tragedia del "Timone d'Atene", altre 17 dal "Troilo e Cressida" e le ultime 16 dall'opera sempre tragica "Re Riccardo II". Un esito certamente degno di nota e ragguardevole, dal momento che tutto quanto è stato redatto da mammiferi privi di alfabetizzazione, in modo del tutto casuale.

Il tempo di scrittura, tuttavia, rimane infinitamente lungo. Numerosi esperti hanno tentato poi l'esperimento con nuovi e diversificati metodi, in taluni casi ottenendo più successo. Uno studioso ha creato, per esempio, un sistema informatico in cui le sue scimmie virtuali potevano digitare solo stringhe di nove lettere e, alla luce dei fatti, il sistema ha generato con gran successo ogni opera teatrale del drammaturgo inglese. Eppure, questo esperimento può essere ritenuto un caso particolare della seconda dimostrazione parziale di Borel-Cantelli, la quale enuncia come in determinate circostanze un evento avrà probabilità di accadere o non accadere pari al 100% o allo 0%.

Chi sarebbe dunque questo Borel-Cantelli? Si tratta di due persone diverse: Emile Borel e Francesco Paolo Cantelli, due importanti matematici che agli inizi del ‘900 giunsero in modo indipendente alla formulazione di questo lemma. Entrambi hanno dato notevoli contributi alla teoria matematica delle probabilità: il primo, francese, si occupò anche di topologia, teoria della misura e teoria dei giochi; il secondo, italiano, ebbe interessi che spaziavano dall'astronomia alla matematica finanziaria.

Combinazioni di parole

Già nell'opera letteraria di Jonathan Swift "I viaggi di Gulliver" è presente un prototipo di questa teoria: uno degli scienziati dell'isola del cielo di Laputa, tra i suoi vari esperimenti, cerca di scrivere testi letterari combinando casualmente le lettere dell'alfabeto inglese.
Jorge Luis Borges, nel saggio "La Biblioteca Total" (apparso sulla rivista Sur nel 1939), attribuisce questo "teorema" ad Huxley e, in seguito, lo inserisce, senza però citarlo, nel suo racconto "La Biblioteca di Babele".

Un altro testo più recente che si ispira a una variante di questo "teorema" è il romanzo giallo "An Infinite Number of Monkeys" di Les Roberts. Richard Dawkins ha osservato che al ritmo di una lettera al secondo, il tempo trascorso dalla nascita dell'universo ad oggi non sarebbe stato, quasi sicuramente, sufficiente alla scimmia per terminare il proprio lavoro.

Teorema scimmie infinite: Il vero quesito da porsi

La domanda da porsi per affrontare in termini rigorosi il problema è: Con quale probabilità una scimmia, a furia di battere ripetutamente su di una tastiera, riuscirebbe a produrre un verso di un'opera letteraria dal calibro dei lavori di Shelley o di Manzoni?

La scimmia che batte a caso ha una probabilità su 26 (il numero dei tasti dell'ipotetica tastiera per scrivere) di digitare la prima lettera dell'Amleto e una su 676 di scrivere le prime due (26×26). Poiché la probabilità diminuisce in maniera esponenziale con l'aumentare delle lettere da scrivere, a 20 lettere la possibilità è di una su 1029 circa: per fare un esempio, sarebbe come acquistare quattro biglietti della lotteria nella stessa ricevitoria e scoprire poi che tutti e quattro i biglietti sono vincenti.
In riferimento al testo, visto nella sua completezza, la probabilità del fenomeno tende a valori talmente piccoli da renderli difficilmente concepibili e poco pratici per le analisi. Per un testo, appunto, di 130.000 lettere, esiste una probabilità su 3.4×10183.946 di ottenere l'Amleto al primo tentativo.
Dobbiamo tenere in considerazione l'elemento del tempo: ricordiamoci che nel teorema si considera un tempo tendente ad infinito. Ma cosa dice la matematica delle probabilità su questo argomento? Ipotizziamo di avere una pulsantiera di m tasti e di dover scrivere un testo di y battute, la probabilità di non riprodurlo in x tentativi è pari a:

Con il limite "n -> infinito", questo porta tutta l'espressione pari a zero, perciò la probabilità di riprodurre un testo fissato se si prova all'infinito è uno. Questo teorema deriva dal secondo Lemma di Borel-Cantelli, che afferma, senza entrare nel dettaglio degli spazi di misura e delle successioni di sottoinsiemi misurabili, che se vi è una successione di fenomeni aventi probabilità differenti, queste probabilità possono essere matematicamente sommabili tra di loro, facendone una sommatoria probabilistica e arrivando quasi sicuramente ad un numero finito.

Al contrario dobbiamo considerare che, nel caso in cui vi siano eventi indipendenti tra loro con una serie di probabilità non facilmente sottoponibili a sommatoria, allora ci troveremmo davanti a un risultato di difficile lettura, tendente ad un valore pressoché infinito. Quindi, ci troveremo davanti ad un evento che, se ripetuto infinite volte, la probabilità che dia esito positivo è tendente a più infinito.