Scopriamo il paradosso dell'Hotel infinito di Hilbert

Tra gli esperimenti mentali che possiamo immaginare, uno dei più affascinanti (seppur nella sua semplicità) è senz'altro quello dell'hotel infinito, anche conosciuto come paradosso del Grand Hotel di Hilbert. Si tratta di un'idea per mostrare alcuni concetti controintuitivi dell'infinito.

Immaginate un hotel infinitamente grande, avente un infinito numero di stanze. Potendo ospitare un infinito numero di persone, immaginiamo che l'hotel sia già al completo, ma un nuovo ospite si presenta. La soluzione del furbo albergatore è semplice. Far spostare tutti i clienti già presenti nella camera successiva. Il primo ospite andrà nella camera numero 2, il secondo nella camera numero 3, e così via, rendendo libera la prima camera.

In una caso meno intuitivo, supponiamo che all'hotel si presentino un infinito numero di persone. Esiste un modo per l'albergatore di ospitarli tutti? La soluzione è più complessa. L'albergatore dovrà dire a tutti i suoi clienti di spostarsi nella camera con il numero doppio rispetto alla loro camera attuale. In questo modo, l'ospite nella camera 1 andrà nella camera 2, l'ospite nella camera 2 andrà nella 4, l'ospite nella camera 3 andrà nella 6, etc.

Così facendo tutte le stanze dispari si saranno liberate, permettendo all'infinito numero di nuovi clienti di occuparle.

Ma l'esperimento non finisce qui. Possiamo immaginare delle situazioni in cui persino l'hotel infinito non è in grado di ospitare un'infinità di clienti, dimostrando che esistono diversi tipi di infiniti, di diverse grandezze. Di questo parleremo in un'altra occasione.

Il paradosso fu ideato da David Hilbert, uno dei più grandi e prolifici matematici del XX secolo, insieme a Martin Gardner (di cui abbiamo riportato uno dei rompicapi più famosi).

Se non vi gira ancora la testa pensando al concetto di infinito, forse vi interesserà un paradosso simile, il problema di Monty Hall.